古代三大算法之一：开方
本帖最后由 ygvfe 于 2025-8-17 05:36 编辑本人发明的开方公式，发表在台湾中央研究院【数学传播】：
开立方公式
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe538d1c36e0fa14fd31a0a7777711876edbb14
例如，A=5，k=3,即求：53https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f23a69b349ab35ccd5dd0d3083549a40fcaebc 5介于13https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c815cf8948a410cd19c41a251afa2724394882a0至23https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52e9f8299773e9205d2055998f3c8eb9441877fc之间（1的3次方=1，2的3次方=8） 初始值X0https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6381fdad2b9f11954b1fc2db08bbaccf634ededa可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我们取X0=2.https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a3ed04cf9b960f2bcddfe4c35941b37caa5e07a按照公式： 第一步：X1=2+(5/22−2)1/3https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eae88a5a9de0e827dddf717b7f2dc699feab069=1.75。输入值大于输出值，负反馈；即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，-0.75×1/3=-0.25，2+(-0.25)=1.75，比前面多取一位数。即取2位数值,即1.7。 第二步：X2=1.7+(5/1.72−1.7)1/3https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e469b8535527626ebfb713acb7d33b04430a9fb7=1.71.输入值小于输出值，正反馈。即5/1.7×1.7=1.73010，1.7301-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。 第三步：X3=1.71+(5/1.712−1.71)1/3https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cf30a023c69d7ae3a24ce31c5cbf788316090ee=1.709. 第四步：X4=1.709+(5/1.7092−1.709)1/3https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ec8ccbbe5121db22b8fcaa2bcf1af6a19ea055=1.7099 这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大。即5=1.70993https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/863afa6eb113ad6c5cb646145d20ed81a06932c3. 当然初始值X0https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6381fdad2b9f11954b1fc2db08bbaccf634ededa也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个,都是X1=1.7>https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c50070965bc8d71b004b575d0a7e0d8955eb94。当然，我们在实际中初始值最好采用中间值，即1.5。X1=1.5+(5/1.52−1.5)1/3https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5a0b37cd83f4ad33857e2d811b0b3b23a58ab2=1.7。
开平方公式
如果用这个公式开平方，只需将X2https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df5c43e431c7e9c2c71cd2a0c59de0fb219e9d1e改成X1https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fca53d8f3bcc5469eece7dc6b23ada615470229，1/3改成1/2。即https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e71f61ca1ae1f9007509fce3a0ef5090d55f8cefhttps://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e71f61ca1ae1f9007509fce3a0ef5090d55f8cef例如，A=5：5介于22https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd7711cd907a2d46557a410fb67fc0d84c52ba3至32https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84cba38173d6b69364f2016245721c333282e0d7之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取中间值2.5。第一步：X1=2.5+(5/2.5−2.5)1/2https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f7090611fea0d64f0b44460ff5b4d9a45be28f=2.2；即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。第二步：X2=2.2+(5/2.2−2.2)1/2https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06d832b76f1904740c29b9cc43de6102cca4cc20=2.23； 即5/2.2=2.272727，2.272727-2.2=-0.072727，-0.072727×1/2=-0.036363，2.2+0.036363=2.23。取3位数。第三步：X3=2.23+(5/2.23−2.23)1/2https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb1551564845eed006ba23570fddbf0d3945488=2.236；即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.每一步多取一位数。计算次数与计算精确度成为正比。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。这个方法的依据是根据牛顿切线法得来。也可以通过牛顿二项式定理推出。
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