青铜镜镜像破缺--属于第五种力--物理学面临严重困境

【摘要】宇宙的基本结构及其相互作用的奥秘都深藏于数学规律之中，这是毕达哥拉斯主义的基本理念。它分别体现在现代物理学的三大研究纲领中：（1）根据物理学的几何化纲领，引力场弯曲空间的奥秘需要通过黎曼几何、微分几何与张量分析来解读；（2）根据量子场论纲领，场理论的“产生和湮灭”算符，能方便而精确地表征和重构相关的微观作用机制；“场的本体论”和“生成辩证法”同时得到体现。（3）根据规范场论的纲领，自然界四种相互作用的奥秘都深藏于“规范对称性”之中。第三纲领相当于前两个纲领的整合。
【关键词】规范场论纲领  物理学几何化纲领  量子场论纲领  毕达哥拉斯主义模式  宇宙奥秘
   在20世纪物理学中先后出现了探索描述物理世界基本相互作用的三大研究纲领：（1）广义相对论的物理学几何化纲领；（2）量子场论纲领；（3）规范场论纲领。波士顿大学科学哲学家曹天予在《规范理论和基础物理学的几何化》（1987）[1]一文和《20世纪场论概念的历史发展》（1997）[2]一书中对此首先做出明确概括。笔者打算按照毕达哥拉斯主义的理念来进行解读。
   毕达哥拉斯主义的基本理念是：“数是万物之本原”。具体地说，数学和谐性（特指数学对称性）是关于物理世界基本结构知识的本质核心，在自然界那种富有意义的秩序中，必须从自然规律的数学核心中寻找它的根源。科学家在探索物理定律的过程中，“数学和谐性”是强有力的助发现的启发性原则。
笔者在《物理学的毕达哥拉斯主义研究传统》（2004）[3]中曾表示坚信，宇宙的基本结构及其相互作用的奥秘都深藏于数学规律，尤其是基本对称性之中。又在《对称性破缺与宇宙设计》（2007）[4]中进一步指出，即使 “对称性破缺”仍是深层物理规律的“内在对称性”局部的、不完全的反映。如果有某位科学美学鉴赏家说，宇宙＝上帝的几何学杰作，这并没有错，只不过这个“上帝”＝自组织的宇宙本身。基本对称性是宇宙所固有的。笔者所主张的毕达哥拉斯主义理念是与科学实在论融合在一起的。
   一.物理学几何化纲领的毕达哥拉斯主义解读
   爱丁顿在1919年的日全食观测，对验证爱因斯坦引力场理论有过决定性贡献。1921年，爱丁顿引进了一个“世界结构的几何”观念作为时间、空间和事物的共同基础，当然它理应包含与物质相关的元素和物质系统的相互作用机制。这是符合“宇宙奥秘深藏于数学规律”的毕达哥拉斯精神的。爱丁顿认为，物理世界的自然几何就是黎曼几何。毫无疑问，引入物理世界结构的几何概念，对于物理学几何化纲领的发展是至关重要的。
   本文依次讨论三大研究纲领。按照第一个研究纲领，即物理学几何化的纲领，相互作用是通过连续的经典场而实现的，物理上引力场的“弯曲空间”在数学上是用相应的几何结构（诸如度规、仿射联络和曲率）来刻画的。虽然，爱因斯坦早在1907年就有了广义相对论原理的物理思想，但是在寻找最佳数学工具过程中却走过一段弯路（陈省身就特别注意到这一点）。爱因斯坦好不容易才认识到，准欧几里德的“刚性度规”应当推广到弯曲空间的“柔性度规”的普遍情况中去，这样才能适应于非惯性系或引力场，它对应于非线性变换的情况。他从黎曼的思想中汲取了力量，并就此取得了关键性的突破，他认识到引力场“弯曲空间”需要有黎曼几何与张量分析来配套。
笔者认为，关注物理思想和数学思想之间内在联系，对于科学哲学学者来说是十分重要的，不应该把数学仅仅看作是技术性工具。黎曼关于“度规、距离法则决定了一种几何学”的思想，对于广义相对论的创建有着特殊的启发力。度规张量表征着弯曲空间的内禀性质，协变导数解决了弯曲空间中的矢量求导和无穷小平移问题，仿射联络能恰当刻画弯曲空间矢量的平移性质与度规张量（空间内禀性质）之间的确定联系，黎曼联络是引力势对坐标偏微分（变化率）的组合，体现着引力场的分布等等。引伸一点说，“联络”解决了弯曲空间中不同时空点测量标尺的差异和可换算性问题，后来成为规范场理论思想的一个源头。“宇宙奥秘深藏于数学规律”的毕达哥拉斯主义理念，在爱因斯坦的引力场论中都被具体化和精细化了。
   按照笔者的看法，爱因斯坦的引力场纲领在本体论上所采取的是“场的实在论”立场（也可以称作为“场的本体论”）。在爱因斯坦的广义相对论中，“以太”、空间、真空、场＝同一个物理实在。与粒子本体论立场的根本区别在于，作为一个场，必定是一个连续的充实（plenum），从亚里斯多德的“虚空是不可能的”到 笛卡儿的“充实空间”和“广延性＝物质最基本的属性”，直至爱因斯坦所肯定的“广义相对论以太”，这个连续的充实（plenum）的思想是一脉相承的（详细分析见拙作[5]）。其实在这一点上，甚至后来的量子场也和经典场没有两样。
   二．量子场论纲领的“生成论”和毕达哥拉斯主义再解释
   然而，物理学家对于电磁力、强力、弱力的研究路线可以说是各不相同的，统一地描述却十分困难。直到1928－1929年，随着量子电动力学的出现，才开创了基本相互作用的第二个研究纲领，即量子场论的纲领。量子场论纲领，按照它自身的内在逻辑所应当采取的是 “场的本体论”立场。可是，人们的潜意识在习惯上总是容易滑到“粒子本体论”的立场上去。
   量子场论纲领认为，场（量子场）才是第一性的实在，粒子不是永固不变的而只是派生的，通过激发和退激，粒子（＝场量子）在场中产生和湮灭，相互作用是通过量子场来实现的。量子场则以局域耦合和场量子的传播为基础。总之，这种系统阐述方式，是植根于通过局域耦合概念而建立的“算符场”的定域激发概念。从数学角度看，抽象的希尔伯特空间中的对称变换群，构成一般量子力学的数学基础，可观察量是用其中的线性“厄米算符”表示的。量子场论所处理的是所谓的定域场（局域场）。也就是说，场变量只在一个点空间才有定义，定域场相当于一个算符，定域的场算符。量子场论确立之后，能够用场理论的“产生和湮灭”算符方便而精确地描述所有相关过程（包括玻色子、费米子的场，还包括其间的基本相互作用）。换句话说，费米子和玻色子都被看作是一个场的量子。在场论这种表述中，引入产生和湮灭算符（即a，a*或b，b*）以增加或减少在某种量子态中的粒子数。一个振子振幅的算符能够产生或者毁灭振子的一个量子。这样，物理上场量子的“产生和湮灭”过程以及哲学上的“生成论”思想（见下文），其关键性特征可以通过精致的数学形式加以刻画。可见，“宇宙奥秘深藏于数学规律”的毕达哥拉斯主义理念，对由量子场所代表的流变的微观物理世界并没有例外。
   笔者认为，尽管在引力场几何化纲领和量子场纲领之间，从相互作用机制上说存在着深刻的区别（前者涉及宏观、外部空间，后者涉及微观、抽象空间）。然而，引力场与量子场在场本体论上却仍然有一致性。
   曹天予发现，引力场几何化纲领与量子场纲领之间存在着联系媒介，这就是第三个纲领即规范场论的纲领。换句话说，规范场的作用机制为寻求一种“量子作用”和“时空几何化结构”的密切关系提供了真正的可能性。关键在于，一方面，规范场论与引力场论之间在数学结构上存在惊人的相似性，通过细致类比，可以为规范场理论找到合理的几何化解释。另一方面，规范场理论和一般量子场理论之间又存在着密切的关系。由于量子场理论唯有符合规范对称性才是可以重整化的，因此有了对规范理论的真正理解，回过头来也就可能对量子场论有更深刻的理解。
   现在让我们来回顾一下量子场论的研究纲领。在一般量子力学中可观察的物理量是用“算符”来表示的，而在量子场论中量子场 则表现为定域化的“算符场”。按照笔者的看法，成熟的量子场论在哲学上不仅立足于“场本体论”的，而且应当强调也是立足于“生成论”的。因为，算符场的局域性的激发表现为场量子的“产生”，相反，退激则表现为场量子的“湮没”。这里包含着本来意义上的“生成论”思想！可是，笔者注意到一个有趣的现象，这就是即使量子场论的奠基人狄拉克，在初创阶段并未立即摆脱“构成论”的立场。从科学哲学眼光看，最初狄拉克是采用“特设性假设”的方法，借用旧的“构成论”语言来表述生成－湮没的“生成论”全新过程的。他在1927年的论文《辐射的发射和吸收的量子理论》中，假定光量子也好像电子一样存在最低能量状态——基态，在这里称作“零态”。有无数个光子都处在这种能量的最低状态，但是它们却是不可观察的，因此称作“虚光子”。当它们从“零态”跃迁出来，不可观察的虚光子就变成可以观察的实光子。虚光子显现为实光子的过程，叫做创生或生成；实光子隐蔽成为虚光子的过程，叫做湮没（湮灭）。[6]
   仔细想来，此刻狄拉克并没有完全脱离“粒子为本”的预设。为什么这样说呢？因为对他而言，粒子仍然是第一性物质，它本身是永固不变的。它只是可以进行“跃迁”，既可以显现出来，也可以隐藏起来，但是并没有真正的产生和毁灭。然而，一旦正式进入量子场论的语境，就由不得狄拉克了。必定要用“场的本体论”的立场去替代“粒子本体论”，相应地用“生成论”语言去替代“构成论”，那时，库恩所说的“范式转换”和“科学革命”就发生了。在新的眼光下，一切都变了，场才是第一性物质，粒子只是派生的，是可生可灭的。当新学科有了自己的第一原理，作为过渡阶段中间产物的“特设性假设”就成为多余，可以放入历史博物馆。量子场的这种新奇的性质和相互作用机制，更新了根深蒂固的原子论的传统观念。话说回来，其实古希腊哲学家赫拉克里特早就曾经提出过“一切皆流，一切皆变”的世界图景，这是关于世界万物生成和湮没的辩证图景。现在，量子场论再现了这种关于量子世界的“粒子的生成和湮没”的生动图景。笔者在这里看到，量子场理论正在为赫拉克里特的辩证法和金吾伦的“生成哲学”提供着现代科学的经验证据。
   然而，量子场理论有自己的困难。在用微扰法对相互作用的量子场进行展开计算时，总会出现无穷多发散的积分，这是一个伤脑筋的问题。好在近40年代来理论进展表明，描述基本相互作用的各种量子场理论，有可能通过“重整化”方法来克服无穷大或发散的困难。不过，必须以引进“规范不变性”概念作为必要条件。因此，为使量子场论发展为一个成功的研究纲领，它就必须与规范理论相结合。因此，量子场论的解释不可避免地和规范场的解释联系在一起。
三．规范不变性思想的历史渊源
   现代规范场理论，由杨振宁与米尔斯于1954年所首创，它完全是在量子场论纲领的框架中出现的。杨振宁早就认识到，“规范不变性”是电磁场非常独特而重要的性质，他很想把它推广到核强力研究中去。正好，在他身边的米尔斯很熟悉量子电动力学的计算，熟悉电磁场的量子化。于是，两者构成黄金搭档。二战之后越来越多的新粒子被发现，并且这些基本粒子之间存在着多种可能的耦合。因此，必定存在某种严格的限制条件可以决定实际过程的发生。换句话说，选择原理已成为必要。由他们提出的选择原理是基于“规范不变性”的概念，因此称为规范原理。
   规范场论的数学基础，一开始就是以微分几何为起点的。在追溯规范场概念的早期历史时，杨振宁指出：“爱因斯坦发现的引力与空间-时间几何之间的关系刺激了许多大几何学家的工作，如列维—西维塔（Levi-Civita）、嘉当（Cartan）、韦耳（Weyl）等等。” [7]正是爱因斯坦“弯曲空间”的预言得到的及时确证这件事（1919），激发韦尔提出了他的“规范不变性”的革命性思想。事实上，韦尔从1917年至1923年期间的研究几乎完全集中在广义相对论及其数学基础方面。韦尔《空间、时间与物质》（1919）这部著作不仅是广义相对论，同时也是黎曼几何的第一次系统阐述。韦尔拓展黎曼几何的根本目的，就是企图实现电磁和引力的统一场论这一宏伟目标。其实，“1854年黎曼在准备就职演讲时，实际上正在试图建立电磁、光和引力的共同基础。他在给其兄弟的一封信中曾谈到：‘我在重新着手关于基本物理定律之间的联系的研究，并且我深深地沉浸于这一研究之中’。” [8]可见，不论是韦尔的统一场论以及其中作为规范场论思想先导的“标度不变性”（Eich Invarianz），还是黎曼本人的研究，都是在追求对物理世界基本相互作用的统一描述。
   当然，规范不变性观念的提出，完全应当归功于韦尔（1919）。韦尔发现，按照广义相对论的要求，在引力场中坐标系统只能定域地加以定义，同样长度或时间标尺也将只能是定域的。因此，必须在每个时空点建立一个各自不同的量度单位。韦尔称这样一组分立的标尺系统整体上成为一个“规范系统”。在他看来，一个规范系统像一个坐标系统一样，对于描述物理事物同样是必要的。由于客观的物理事件独立于我们所选择的描述框架，韦尔坚持认为，规范不变性就像广义协变性一样，必须被所有物理理论所满足。
   笔者认为，不论是狭义、广义相对论，还是规范场理论都包含一个深刻的科学哲学思想：“物理定律能保持在变换中的内在不变性”。（详细分析见拙作《从康德的科学哲学到规范场论》[9]）在相对论中，基于宇宙中没有绝对参照系的思想，作为物理世界本真 规律的物理学定律，必定具有独立于参照系选择的内禀不变性。尤其是在广义相对论中，对于引力场弯曲空间，在不同时空点上不仅法线方向不断发生变化，而且长度和时间标尺都不统一，因此引力场中运动的描述要比起惯性系统复杂得多，参照系只能被“局域”地定义。既然如此，那么，在不同时空点中进行物理测量何以可能呢？不同的标尺之间怎样建立一种换算关系呢？全域的洛仑兹变换显然是不能胜任的。为了顺应新的需要，爱因斯坦定义了一种新的数学关系叫“联络”，它很快就得到微分几何学家的认可。既然引力场的弯曲空间只能定义局域坐标，那么这种由引力场确定的局域性就自然导致局域坐标系之间的兑换关系，这就是“联络”的观念。时空中每一点的“联络”的值有赖于引力场的局域性质。因此，从规范理论的角度，狭义相对论与广义相对论的本质区别是，前者是整体理论而后者是局域理论，而这个“局域性”正是韦尔规范理论的关键。
   诚如K·Moriyasu所言，“韦尔迈出的勇敢一步就是把规范联络等同于电磁势。”[10]这种等同的“根据”之一是联络自身的变换规律就像一个势，这直接表明有标量因子的规范变化将把联络变换为。对照经典电磁学，我们知道在规范变换下势的改变为，则其中电场和磁场保持不变。在笔者看来，上面两个公式在数学形式的等同性，所体现的深层次的思想正是“物理规律在规范变换下的内在不变性”。
   可惜，韦尔的“标度不变性”刚一提出就出问题，其最初方案的推断是与实验事实相矛盾的。例如，爱因斯坦指出，它意味着具有确定频率的光谱线不能存在。尽管如此，局域规范对称性的核心思想仍然保存了下来，而且随着量子力学的出现获得了新的意义。其基本思路是，规范变换可以重新解释成在波函数中的相的改变：，与电磁势类似的规范变换就变成，而在量子化的电磁场中带电粒子的薛定谔波动方程（即物理学规律）在以上两种变换下都保持不变。如此看来，波函数的“相”完全满足新的局域变量的要求。因为这个相因子不直接涉及时-空变量的测量，这将对任何可观察量都没有影响。势的表观任意性，即波函数的相位的任意性，它不影响波动方程。物理学规律仍然保持内在的不变性。这就是“规范不变性”的真谛。至此，韦尔“规范不变性”的思想内核不仅被重新发现，而且得到了更正确的解释和更深刻的理解。“物理规律在规范变换下保持内在不变性”的思想，真正站住了脚。“宇宙奥秘深藏于数学规律，尤其是基本对称性之中”的毕达哥拉斯主义理念，在规范理论中仍然具有启发价值。
当然，最重要的一步是1954年，杨振宁和米尔斯所迈出的。他们提出，核强力可以用像电磁场一样的“具有规范不变性的场论”来描述。他们假设这种具有“局域规范不变性”的群就是SU（2）同位旋群，正是这个革命性的观念改变了人们对于基本相互作用的理解。
   洪定国在《物理实在论》一书中，就对基本粒子论中的“规范对称性”（包括外部和内部对称性）作了精细的分析。他指出，在彭加勒群（罗仑兹群是其子群）变换中，基本粒子场方程保持形式不变，从而基本粒子的外部时空对称性得到最终形式的体现。另一方面，基本本粒子的内禀性质的对称性则是通过幺正变换群来描述的，后者又分解为相变换群与特殊幺正群US（n）等等[11]。电磁场是最简单的规范场，U（1）是体现其规范对称性的幺正群。杨－米尔斯理论是基于SU（2）规范对称性的，即二维特殊幺正群，它所取得的初步成功，为后继者铺平了道路。受此鼓舞，1970年代初格拉肖、温伯格、萨拉姆以SU（2）×U（1）规范对称性为基础成功地建构了弱－电统一理论。此后又出现了以更大的规范对称性SU(3) ×SU（2）×U（1）为基础的大统一理论，企图将强力、弱力、电磁力都统一为一种规范作用。其中最简单且有代表性的是SU(5)方案，如此等等。
   整个说来，在规范理论的构架中，“对称性确定着动力学”是一个极为深刻的新物理思想。对称性是自然秩序的一种象征。由于规范场包含着深刻的内在对称性，而对称性确定着动力学，确定着相互作用。最终，杨振宁总结说：“近（现）代物理学研究自然界的‘力’，发现共有四种：核力、电磁力、弱力和引力。四种力和它们的能都是规范场。”[12]
   关于基本对称性与粒子物理学的关系，海森伯在《二十世纪物理学中概念的发展》一文中，则说过一段话意味深长的话：
   “可以说，物理学的现代发展又从德谟克里特哲学重新回到了柏拉图哲学。事实上，如果我们想把物质一步一步地分下去，那就正好按照柏拉图的观念，我们最终得到的不是最小的粒子，而是由对称性所决定的物质客体。柏拉图式的物体，其基础是三角形。现代物理学中的粒子，正是基本对称性的数学抽象”。[13]
   根据毕达哥拉斯主义的理念,抽象的“数学对称性”对揭示物理世界的奥秘往往有示向作用，因此探索新的对称性已经成为现代物理学家认识世界的一种重要手段。
   四．规范场论纲领与物理学几何化纲领是统一的
   规范场论纲领直接继承了量子场论纲领的全套基本理念，它是场本体论的、量子化的，只是在理论结构上，加上了规范对称性（规范原理）的严格限制。任何规范理论的核心是具有规范对称性的群和它在决定理论动力学（以相关的守恒定律为标志）时的关键作用。对称性可以有不同的类型：（1）如果一个对称性的表象在不同时空点都是同样的，则称作全域对称性。（2）否则，称作局域对称性。（3）如果相关可观察自由度在本质上是属于外部时空的，则是外部对称性，（4）否则，就是内禀对称性。[14]
   现代规范理论正是从外部对称性到更普遍的局域内禀对称性的推广。这第一步是由杨振宁和米尔斯所采用的，当时他们想要寻找假定同位旋守恒定律的后果。同位旋概念是由N.Kemmerz 1938年引入的，“同位旋”被设想为在进行相互作用时与“电子自旋”相类似。它在随后的核力理论和规范场理论中都有重要作用。“同位旋守恒”是核力对电荷无关性这一事实的重新表述。按海森伯说法，质子和中子是在一个抽象的“同位旋空间”中的同一个粒子的两个状态。既然电荷守恒与相不变性有关，那么通过类比，人们就会猜想强相互作用在同位旋转动中有不变性。
   从科学哲学观点看，在“规范不变性”的思想中所体现的是，客观的物理事件独立于我们所选择的描述框架，即物理学定律具有某种深刻的内在不变性。“同位旋不变性”属于规范不变性之列（“同位旋空间”属于“内部空间”的一种）。杨与米尔斯所得的结果意义重大。
   我们时刻记得，数学对称性是关于物理世界基本结构知识的本质核心。现在，杨-米尔斯规范势是规范场形式结构的体现。它包含着同时体现外部时空和“内部空间”结构的双重作用：一方面，作为外部时空中的四维矢量场，另一方面作为体现内部自由度的同位旋矢量算符。类似地，电磁势及其同场的相互作用在本质上也被“相位不变性”的要求所决定。概括地说，“规范不变性”的要求是一个决定相互作用形式的强有力的原理。规范原理具有普适性，因为多种相互作用都可以通过“规范势”来刻画。这个原理在旧量子场论中是没有的，却是规范场纲领的基石。
   按照规范场纲领，回头来看爱因斯坦的引力场理论。原来，引力场的几何化可以归结为规范场的几何化问题。爱因斯坦提出的广义相对性原理包含物理表述/数学表述两方面内容的思想：物理上强调的是自然定律的普适性，数学上强调的则是坐标变换中的广义协变性（变换中之不变性）。可是批评者却误以为，任何非广义协变理论似乎都可以通过一定的数学变换重铸成广义协变形式。因此广义协变性原理没有实质性内容。然而，曹天予却提出了强有力的反驳证据。因为在批评者所做的那些变换所得的结果中，时空却是平坦的并且外部对称是全域的，而引力相互作用则必定由弯曲时空的“局域对称性”所支配的。可见，真正的“广义协变性”必定是局域对称的，这是引力场弯曲时空所满足的唯一一类对称性。规范对称性原理仍然是不可或缺的。
   另外，在电磁场理论（作为一种最早的规范理论）与广义相对论的理论结构之间存在着高度的相似性，从规范场理论的眼光看，这是不足为怪的。相似性在于：以电磁场对应于引力场，以局域相函数对应于局域切矢，以电磁势对应于仿射联络，和以规范不变性对应于广义协变性。
一方面，爱因斯坦已经做到的是“引力场的几何化”：让彭加勒群的“局域对称性”消除时空的平坦性，并要求引进与引力相关的时空几何结构，比如矩阵、仿射联络和曲率。现在发现，规范场的理论结构与引力场的情况是相互对应的，它们之间可以恰当地进行类比。另一方面，对于引力以外的其它相互作用，人们确信也都可以用规范相互作用来描述。还存在着多种具有内部对称性的空间：电磁学中的相空间，看来像一个环；核物理学中的同位旋空间（isospace），看来像一个三维球的内部；还有描述强相互作用的更加抽象的“色空间”等等。翻译成微分几何的语言是，在每一时空点上嫁接的内部空间称为“纤维”，这个内部空间（纤维）与外部时空（底空间）的联合称为“纤维丛空间”。
   曹天予在《规范理论和基础物理学的几何化》（1987）中提出了将规范场与引力场进行细致类比的思想。如果从规范场论的眼光来看引力场，那么“局域规范对称性”就可消除时空的“平坦性”，而“仿射联络”能够在弯曲时空中起到联络不同时空点方向的作用。与引力场的弯曲时空相似，物理系统的内部空间的方向在不同时空点也是不同的。因此局域规范对称性也要求引入规范势，这相应于规范作用，以便联络在不同时空点的内方向。这样，规范势在规范理论的“纤维丛空间”中所起的作用，恰好等同于仿射联络在广义相对论的“弯曲时空”所起的作用。因此，规范相互作用应当看作一种新的几何化。[15]
   前文提到过，在广义相对论之后爱丁顿就认识到，需要有一种“世界结构的几何”，作为时间、空间和事物的共同基础（1921）。笔者确信，爱丁顿是深刻的，宇宙的基本结构及其相互作用的奥秘确实深藏于数学规律，尤其是基本对称性之中。这一思想应当推广到微观世界的“内部空间”中去。现代规范理论就是从局域外部对称性到更一般的局域内禀对称性的一种推广。从“世界结构的几何”的眼光看，杨振宁规范场理论的根本特点就在于“外部时空”与“内部空间”的整合，它是分三个步骤完成的：（1）建立规范场理论的两篇奠基论文（关于“同位旋守恒和规范不变性”，1954）。（2）外部空间和“内部空间”概念整合的微分形式（1967）。（3）外部空间和“内部空间”概念整合的积分形式（1974，1975）。具体说：（1）在最初的杨-米尔斯理论（1954）中，所谓的微分形式、内部自由度，虽然以复数的简单相推广到李群的生成元，只是推广了量子电动力学。（2）外部空间和“内部空间”概念的初步整合（微分形式）。到1967年，内部与外部自由度的接触点开始显现。吴大浚与杨振宁在其1967年论文《经典同位旋方程的一些解》中提出了一种对同位旋规范场方程的，这里=1，2，3表示内部自由度的同位旋指标，i和是外部时空的指标，而r是3-矢量（）的长度。这个解显然融合了同位旋指标与外部空间指标，在物理学上确实意味着全新的创造。从微分几何观点看，在每一时空点上嫁接的内部空间称为“纤维”，这个内部空间（纤维）与外部时空（底空间）的联合称为“纤维丛空间”。（3）使规范理论获得更加鲜明的几何含义的是，杨振宁的《规范场的积分形式》（1974），而吴大浚和杨振宁的《不可积相因子以及规范场的全域表述》（1975）的工作则进一步强化了这一点。1974年论文最主要的是引入了“不可积相因子”概念。由此，杨振宁发现，引力场理论中所用的平移概念、线性联络、黎曼曲率，分别只是规范场理论中不可积相因子、规范势、规范场强的特例。
   引申一点说，引力场几何化纲领实质上可以看作规范场纲领的特例，规范场纲领是更高、更普遍的观念。现在，杨振宁关于规范场的一般观念已经被普遍接受。上述规范积分形式和全域表述的工作，更加清楚地表明了规范场是高度几何化的。不仅外部空间可以几何化，而且“内部空间”也可以几何化。对应于在微分几何中，这个“内部空间”（纤维）与外部时空（底空间）的联合称为“纤维丛空间”。因此，如果说杨振宁“物理学的规范场理论”与陈省身“微分几何的纤维丛理论”遥相呼应和不谋而合，这是出于天意，那么这种说法实不为过。杨振宁在断言各种自然力都是规范场之后，提出一个有趣的谜语：“为什么自然界的各种力都要建筑在几何学的纤维丛观念上”？我们猜想的谜底是：从微观到宏观，物理世界的基本结构及其相互作用的奥秘都深藏于数学规律，尤其是基本对称性之中，这对于规范场问题没有例外。