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卡拉比猜想[size=0.875em]2 种语言
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在第一个陈类消失的特殊情况下,这意味着每个 Kähler 类都只包含一个 Ricci-flat 度量。这些通常被称为 Calabi-Yau 流形。然而,不同作者经常以略有不同的方式使用该术语——例如,某些用法可能指复流形,而另一些用法可能指复流形以及特定的 Ricci-flat Kähler 度量。 这个特例可以等同地看作是紧复流形上零 标量曲率的 Kähler-Einstein度量的完全存在和唯一性理论。非零标量曲率的情况并不是卡拉比猜想的特例,因为凯勒-爱因斯坦问题的“右边”取决于“未知”度量,从而将凯勒-爱因斯坦问题置于规定里奇曲率的领域之外。然而,丘成桐在求解卡拉比猜想时对复杂的蒙日-安培方程的分析足够普遍,因此也解决了负标量曲率的凯勒-爱因斯坦度量的存在。第三个也是最后一个正标量曲率的情况在 2010 年代得到解决,部分原因是利用了卡拉比猜想。 卡拉比猜想的证明大纲[编辑]Calabi 将 Calabi 猜想转化为复 Monge-Ampère 类型的非线性偏微分方程,并表明该方程最多有一个解,从而建立了所需 Kähler 度量的唯一性。 Yau 通过使用 连续性方法构造了该方程的解来证明 Calabi 猜想。这涉及首先求解一个较简单的方程,然后证明简单方程的解可以连续变形为硬方程的解。丘成桐的解决方案中最难的部分是证明对解决方案的导数的确定的 先验估计。 卡拉比猜想向微分方程的变换[编辑]�+��′�对于一些流畅的功能� 上� ,唯一性,最多添加一个常量。因此,卡拉比猜想等价于以下问题: 让�=��是正平滑函数�平均值为 1。然后有一个平滑的实函数�;跟(�+��′�)�=����和�;在添加常量之前是唯一的。这是单个函数的复数 Monge-Ampère 型方程� . 这是一个特别难求解的偏微分方程,因为它在最高阶方面是非线性的。当�=0 如�=0 是一个解决方案。连续性方法的思想是表明它可以为所有人求解� 通过显示� 可以解决的是开放和封闭。由于集� 对于它可以解决的是非空的,并且所有� 是连接的,这说明可以全部解决� . 从平滑函数到平滑函数取的映射� 自� 定义者 �=(�+��′�)�/��既不是射弹也不是射弹。它不是注入的,因为将常量添加到� 不变� ,它不是投射的,因为� 必须为正数且平均值为 1。因此,我们认为映射仅限于函数� 被归一化为平均值为 0,并询问此映射是否是正集合的同构�=�� 平均值为 1。Calabi 和 Yau 证明了它确实是一个同构。这分几个步骤完成,如下所述。 解决方案的独特性[编辑]要证明解决方案是唯一的,需要证明如果 (�+��′�1)�=(�+��′�2)�然后φ1 和φ2 相差一个常数 (因此,如果它们都归一化为平均值为 0,则必须相同)。 Calabi 通过证明 |�(�1−�2)|2由最多为 0 的表达式给出。由于它显然至少为 0,因此它必须为 0,因此 �(�1−�2)=0这反过来又迫使φ1 和 φ2 相差一个常数。 F的集合是开放的[编辑]证明可能的 F 的集合是开放的(在平均值为 1 的平滑函数集合中)涉及证明,如果可以求解某些 F 的方程,那么就有可能求解所有足够接近的 F 的方程。卡拉比通过使用 巴纳赫空间的 隐函数定理证明了这一点:为了应用这一点,主要步骤是证明上面微分算子的 线性化是可逆的。 F的集合是封闭的[编辑]这是证明中最难的部分,也是丘成桐完成的部分。 假设 F 处于 可能图像的闭包中 功能φ。这意味着有一个序列 功能φ1、φ2、... 使得相应的函数 F 1、 F2,... 收敛到 F,问题是要表明 φs 的某个子序列收敛到解φ。为了做到这一点,丘成桐为函数 φ i 及其高阶导数找到了一些 先验边界 就 log( fi) 的高阶导数而言。找到这些边界需要一长串硬估计,每个估计值都比之前的估计值略有改进。Yau 得到的边界足以表明 i φ函数都位于合适的 Banach 函数空间的紧凑子集中,因此可以找到一个收敛子序列。 该子序列收敛到与图像 F φ的函数,该函数 显示可能的图像集 F 已关闭。 参考资料[编辑]
外部链接[编辑]
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