批判性数学思维的问题意识

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             在每一个民族的文化科学艺术思想史上，数学与一个国家的进步的关系是最密切的。在当今世界竞争中，数学在开拓民族精神的战场上，在提高民族精神境界的软实力中，起着非常重要的功能。数学和逻辑学-语言学最高使命都是使得我们尘世生活更加美好。判断一门学科好坏最后标准，是看它提高民族精神境界的能力如何。

          数学问题多如牛毛，从日常生活的数量加减，到工作中复杂问题的计算和推导。数学主要来源不是纯粹的想象，而是现实生活，来源于世界和宇宙。于是，我们思考的武器不能仅仅是数学，而是哲学-逻辑学-语言学等一切可以借助的学科。数学批判主要针对已经被学术界认可的问题，或者是已经发表过的文章。数学与批判学的关系，就如烟与火的关系，哪里有冒烟，哪里就有火星。数学已经是百花齐放，千姿百态，显示无限的活力，而数学批判学与数学严重脱节，没有把数学的时代精神作为自己反思的对象，没有成为数学时代的喉舌。数学与批判应该是血与肉的关系，当一位数学家宣称自己证明了一个命题，扪心自问，是不是可靠？有没有漏洞？数学必须对逻辑学绝对忠诚，绝对可靠，绝对纯洁。
数学只有从批判学中获取激情和营养，经过批判学的锻造，才不会孤单不会恐惧。只有经过批判以后的数学，才能敲响前进的战鼓，才能飘扬起让人奋发的战旗，才能成为其他命题的论据。


一，怎么样才能发现数学理论中的问题

（一）从经验中发现问题。

只要现有的数学理论还没有或者还不能对此作出解答（在数学中叫做证明），就构成经验性问题，例如费马数是否都是素数，欧拉把n=5时的费马数因式分解后就推翻了原先的假设。

经验性问题类型：

1，对经验性事实没有统一的理论，例如哥德巴赫猜想，我们无法逐一试验每一个偶数，只能借助逻辑学-哲学-语言学。在化学中也有这样的情况，各种元素中是否与内在的联系，最后导致门捷列夫元素周期律的建立。

2，现有理论与经验事实或者逻辑规则出现矛盾，例如安德鲁怀尔斯对费马大定理的证明违反三段论公理。在天文学也有这样的情况，90年前（1930年左右），发现天王星的实测轨道与按照牛顿力学计算的理论轨道不一致，导致了最后勒维列的假说并且由加勒发现了海王星。


（二），从理论中发现问题。

一些数学命题的主项极为复杂，是一种变化率的变化率，例如黎曼猜想，费马大定理，货郎担问题。证明非常困难，不是通过对经验事实的分析而是通过对理论的分析而产生的问题。

1，理论本身逻辑矛盾而产生的内部理论问题，即集合概念主项是否要一 一验证？
人类能否处理集合概念的无穷？
例如物理学中的三体问题。还有法拉第最早构造的电的相互作用模型是用来消除牛顿力学中的超距作用这一个概念的。但是后来发现法拉第这个模型也是需要用到超距模型作用。这个不一致导致重新审视物质和力的观点，产生了避免超距作用的电磁场理论。

2，不同理论之间的矛盾产生的逻辑问题。
Frey将费马大定理转换成为一个椭圆曲线方程，古山志村猜想每一个椭圆曲线方程都是可以模型式化，Kenneth Ribet证明了Frey方程不能模型式化，安德鲁怀尔斯证明了古山志村猜想成立，两个理论之间产生了矛盾，只能是一个对，一个错误。不同理论之间的冲突是一种整体的矛盾，正如广义相对论与量子力学之间不能统一。

（三），观念-立场-方法论问题。

数学证明到底要不要制定规则，数学科学共同体能否接受规范作用的方法论和价值观？公理化证明和形式化证明都是无法万无一失，只要检查一些重大数学问题的证明就可以发现，所有的证明文章都是可以找到错误，有错误的数学证明可以容忍吗？


二，怎么样评价发现的问题

（一），新颖性是否具备科学性。
在数学命题的证明中，有些人使用了新概念，但是没有经过严格的定义，即种加属差方法定义。例如“充分大”“殆素数”，这些新概念不具备科学性，一个用于数学证明的概念，必须做到专一性-科学性-稳定性-可以检验-系统性。没有科学性谈不上可行性，更谈不上新颖性。
新颖性也有两类：
一是常规性问题，例如计算圆周率方法更加简单和准确，特点是预期程度>科学问题>背景知识。
另一是革命性问题，例如人类无法给出一个无穷多的二阶逻辑问题的全部证明，即变化率的变化率，让我们搞清楚了人类解决问题的手段是有限的。特点是我们发现的科学问题大于预期程度，大于背景知识（科学问题>预期程度>背景知识）。
哥白尼日心说是革命性进步，开普勒椭圆轨道是常规性进步。

（二），需要性与可行性。

例如物理学的超玄论（m理论）是统一广义相对论和量子力学的理论。是迫切需要的，但是无法验证，因为人类无法制造几万个大气压和几亿度的温度，不具备可行性，只能用数学来概括。而数学也没有解决高维度的理论，什么是大于4维的几何空间？一个问题无论怎么样符合需要，如果条件不具备，只能搁置。在没有显微镜的情况下，人面不知道也无法知道微生物的情况，更谈不上什么的感染了。没有恒电压和安倍计是不可能发现欧姆定律的。

三，怎么样表述问题

（一），问题的指向。
1，判定性问题，即“是什么”。例如，e是一个超越数。

2，描述性问题，即“怎么样”。描述必须符合语法和修辞。例如张益唐“有无穷多个素数对。它们相差小于七千万”。把主项“小于七千万的素数对”分拆两个部分，一部分是限定主语（素数对）的定语“小于七千万”于主语分拆，并且把谓项“无穷多”放在后面，违反语法规则。描述不清楚，因为全称判断主项必须周延，就是对判断的外延全部断定，人面不知道张益唐说的是“所有的小于七千万的素数对”，还是“某一个素数对”是无穷多。

3，解释性问题。即“为什么”。例如，素数为什么有无穷多个？因为，如果素数是有限的，就会出现自相矛盾。

（二），问题的预设

1，应答区域。例如：哥德巴赫猜想是问，大于4的偶数是否都是两个素数之和。而陈景润的应答区域是：
或者N=P+P"；或者N=P1+P2P3。

应答区域的设定对于研究工作极为重要，如果客观上问题是设定在应答区域内，那么，所提出的问题的解就是一个正确的问题。他将引导研究者较为顺利获得成功。如果客观上问题不在设定的应答区域，那么，所提出的问题将是一个错误的问题。他将导致研究者在一个不存在的应答区域枉费心机。

2，问题的范围或者限域。
即应答区域。区域越是具体，越是明确，越是狭小，方向性和指导性越强。反之就越弱。例如陶哲轩“存在任意长的素数算术数列”，“素数算术数列”是一个集合概念，包含了无穷多种，是不合法的命题。数学命题只能是普遍概念或者单独概念。

我们为什么需要数学批判学？

人如果没有信仰就会失去人生的目标，数学也是一样，如果没有批判学的不断敲打，数学就会走向堕落和狂妄。普通数学家与数学批判家不同之处在于：前者的数学思维是零星散乱的，浅薄的，不自觉的；后者的数学思维是自觉的，成体系的，深沉的和持久的。
总的来说，我们需要数学批判的理由如下：

首先，人与动物区别之一是在于人有反思，即自我意识和反省能力。动物不会追问自身存在的意义和价值，而人不一样，多少是一种文化的存在，他要赋予超生物的意义，我创造的知识有没有价值，到底对不对。一个数学证明也是一样，应该问一问，到底有没有错误。

其次，动物只为生命所必须的光线所激动，人却关注遥远星辰所发射出来的无任何功利性质的光线，这是明其道，不计其功。朝闻道，夕可死矣的哲学精神。现代数学，一刻也离不开批判学。

第三，是为了满足我们对世界观的渴望和哲学信仰的追求，在人工智能时代，这个问题更加尖锐。旧数学已经土崩瓦解，数学真理的标准必须重新确立。在数学历史发生急剧变化的时代，数学何等需要严肃的批判来拯救自己。
一个没有经过批判的所谓数学定理，总是被怀疑-愚昧-积习牵着鼻子走，缺乏批判的数学理论，总是猥琐的浅薄的，它无法驾驭自己的命运。

第四，数学难道不需要批判吗？人无精神，便如槁木；文无精神，便如死灰。数学文章，文风刻板，缺少一种神采飞扬、引人入胜的文风。数学文章总是板着一幅脸，用一堆枯燥的概念陈述内容。数学文章使用的词汇也是玄而又玄，缺少活泼生动的叙事。缺少审美的意境。真理是由无数个闪闪发光的层面镶嵌而成，表达真理的形式也应该不拘一格。

第五，数学的想象力。数学是用概念囊括各种关系的，所以，数学一刻也离不开想象力。贫困的想象力只能产生荒谬的理论和结果，例如陈景润-张益唐-陶哲轩-安德鲁怀尔斯。爱因斯坦说“想象力比知识更加重要”。因为知识是静止的-封闭的-有限的。想象力是运动的-开放的-无限的。它的背景是观点-立场-方法和一个人的个性-气质和文化素养。数学是从天地万物中提取抽象出数量概念，与纯粹文学中的联系是不同的，“枯藤老树昏鸦，小桥流水人家，古道西风瘦马，夕阳西下，断肠人在天涯”在文学中无可非议，在数学中必须一一传递才能联系。


第六，科学是在逐一消除错误的过程中建立起来。伪科学往往是刀枪不入，无法证伪。而科学则是强烈认识到人的不完善性-不可靠性，假如我们只讲科学成果，不讲批判性方法，怎么能够指望普通人将科学与伪科学区分开来？科学方法比科学成果更加重要。我们要告诉普通人一个科学发现或者数学定理的证明是怎么样完成的，它经过了哪一些曲折和错误的误解。现在中共耍流氓，就是不承认错误，这与他们的反动世界观是有关系的。

让我们以大无畏的革命精神，去认识数学，改造数学。