归纳法利用皮亚若公理只能证明具有递推关系的命题

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亚诺的这五条公理用非形式化方法叙述如下：

皮亚诺公理无法推导属性命题，因为它们是为构建自然数（而不是属性）的算术体系而设计的。这些公理关注的是自然数的构成（如零、后继数等）和基本运算，而“属性命题”通常涉及逻辑推理、语言结构或更复杂的数学概念，不属于皮亚诺公理所定义的范围。

• 皮亚诺公理的定义：皮亚诺公理定义了自然数集，包括一个起始元素（0 或 1）以及一个后继函数，用于生成下一个自然数。
  

• 1：0是自然数；
• 2：每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数；
• 3：对于每个自然数b、c，b=c当且仅当b的后继数=c的后继数；
• 4：0不是任何自然数的后继数；
  

5：任意关于自然数的命题，如果证明：它对自然数0是真的，且假定它对自然数a为真时，可以证明对a' 也真。那么，命题对所有自然数都真。

其中，一个数的后继数指紧接在这个数后面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等；公理5保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理。

若不将0视作自然数，则公理1,4,5中的“0”要换成“1”。

（，只是恒等式）。

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于是，数学家们就以为归纳法可以用于数学命题的证明了。

大家知道高斯的故事，老师让小学生用自然数累加，从1加2再加3，...。一直加到100.。

高斯很快做出结论。

第一个自然数1加上本次设立的倒数一个自然数n，等于1+n。

第二个自然数2加上倒数第二个自然数n-1，等于1+n。

第三个自然数3加上倒数第三个自然数n-2，等于1+n。

........。

第n/2个自然数加上倒数第n-n/2+1，等于1+n。

高斯没有也无需将省略号以后的所有的加法做完。因为根据皮亚若公理第5条，归纳法是成立的。（主项第s个自然数加上倒数第n-s个自然

数之和等于谓项1+n）因为谓项1+n没有属性只是恒等式。

第二，
皮亚若公理证明n与n+1之间具有递推关系的数学命题，其实定义了这个命题所有的元素是一个属性同一的结构。用递推关系设定：不完全归纳定义了尚未归纳的部分，还不是完全归纳法了，而是双重归纳，即部分元素归纳预测，同时建立了元素之间的递推归纳预测。也就可以通过演绎法作为大前提了。

皮亚若公理实际上是通过定义完成一个双重归纳法。

（完全归纳推理其实就是总结，是穷尽一个集合的一切元素，不在讨论范围。完全归纳推理的性质具有必然性，这又使它具有演绎的大前提的条件）。

不完全归纳推理是根据一类事物对象中每一个对象都具有（或不具有）某种属性，推出该类对象全体都具有（或不具有）这种属性的推理。

由于不完全归纳推理是从部分前提到一般性结论的推论，这使它具有归纳的特性；如果建立了递推关系，不完全归纳推理的前提和结论之间具有必然性联系，
所以，建立了稳定的递推关系的不完全归纳推理乃是联系或然性归纳推理与必然性演绎推理的过渡环节。

不完全归纳推理的规则
其一，对于部分对象的断定都是确实的，因为有一个联系所有的元素递推关系，注意，不是仅有归纳部分元素的事实，而是建立了一个事实a与另外一个事实a+1之间具有共同的递推关系。（如果仅有事实，没有递推关系，例如a是素数，a+1是素数，....。这种归纳无效。）
其二，被断定的个别对象之和是一类的全部对象。

不完全归纳推理的作用
不完全归纳推理的主要作用在于综合预测。它把有限数量的单称命题综合为一个整体，综合成为具有特定限度的一般性命题，它使人们的认识从个别上升到一般。

大前提：从a到b 是必然的规律（皮亚若公理）。
小前提：这个恒等式是在封闭的a到b。
结论，所以，这个恒等式成立。
如果n与n+1没有稳定的递推关系，不完全归纳法就是无效的。

皮亚若公理其实就是归纳与递推步骤一致的设计，以保证在不完全归纳情况下，演绎大前提依然有效。
第三，
在皮亚若公理下的归纳证明实际上是一个演绎证明，它所遵循的是一条演绎规则，即从  和 （） 可得到  ，建立了明确的递推关系，形成了基础步骤与归纳步骤完整结合。这条规则保证了我们由前提  （即归纳证明中的奠基和归纳两个步骤：A和B）和前提（  ）（即数学归纳原理：├（A∧B）→c）），就可以推出结论  （即归纳命题c），由于归纳原理是一个逻辑真的命题（可看作一前件真而后件不可能假的严格蕴含式），运用归纳证明所得的结论c也是必然真的，记作├ c。
归纳证明不同于传统归纳逻辑中简单枚举归纳推理，后者是前提中考察了一类事物的部分对象，发现它们都是具有某种性质，并且没有遇到相反的情况，于是推出该类对象都具有该性质。例如，偶数6=3+3，偶数8=3+5，...。于是推出任何大于4的偶数都是两个奇素数之和，其推理形式可表为：

,该推理形式不能保证当前提真时结论必然真，因为没有建立了明确的递推关系，无法形成了基础

步骤与归纳步骤完整结合。